FPGA數值運算問題解答收集

walltsou

在使用FPGA後教了別人數次定點數小數表示法，發現一些狀況。但自己並不是走這一行的，所以一些比較深入的問題也無法回答。所以希望經由各位高手將其應用經驗以或是提供相關資料參考。
+ A! b+ I$ E0 t. a能得到一些常用於FPGA的數值運算，如小數表示、乘除法、開根及平方、三角函數、亂數以及其他常用數值方法。
* q1 R6 r; s& Y8 ^. E, T此篇文章屬拋磚引玉性質，可能對一些人來說這些知識是"幼稚班"等級，但對於像我這種由韌體兼職FPGA工程師是有很大的幫助。
% d' D9 W5 p- K  q$ k1 ^# C9 Q格式大概為下列所列，各作者可以自行調整。
主題：可以讓人了解的題目
使用資源：計算時間、使用Gate count數目等
適用及限定範圍：說明常用及不合適的地方
參考資料來源：出處或參考書本
原理說明及例子：就是文章開始的地方

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主題：定點數小數表示法
& ?" u0 Y, a) u4 q; Z使用範圍：使用整數運算系統下之小數運算
# B# k; t. d9 b$ i$ V- l, O6 t參考資料：嵌入式系統構件 Jean J. Labrosse原著 黃文增譯 全華科技圖書出版
- {- ?3 T# |6 t. k8 u原理說明：
9 H8 `- {4 t2 N1 v  Y4 K先復習一下計算機概論，有許多人都還給老師了。"^"表示次方運算
$ X/ ?- d: z  R  X: n101.101b=2^3+2^0+2^-1+2^-3=5.625
現在是如何運用到FPGA上了。其實這個問題在之前的定點數DSP就遇過了，只是後來應用變少了。現在的FPGA又要用，捲土重來。
我們知道FPGA對於整數系統的加減法是可以，但是遇到小數有些人就不知該如何。其實不難，只要在整數運算系統上加上小數點就行了。
1 E* d( N$ N6 B! K例如101.1b+101.1b=1011.0b，可以發現去掉小數點就和整數運算沒有兩樣。意指，只要將小數點那個位數對齊就可以了，使用移位對FPGA是很容易的。
2 o4 Z& l) r  l但是整數運算使用為小數要標示小數位置，所以引入類似科學記號表示法。我們知道科學表示法為<尾數>E<指數>，例:3E3=3*10^3=3000，E表示10的次方。
  r/ V# ~$ `  o+ t" K, Q定點數的表示法符號為S，表示法為<尾數>S<指數>，S表示為2的次方。舉例2.5S3=2.5*2^3=2.5*8=20。
& x% w9 K7 \/ {7 c在基本數學運算下的處理為：
; T: D( h4 S2 t( |1.加減法
處理方式是將小數位數對齊再做運算。例:2S3+3S2=20S2+3S2=23S2
2.乘除法
乘法時要將指數相加，尾數相乘。例:2S3*3S2=6S5
除法時要將指數相減，尾數相除。例:2S3/3S2=0.66S1
3 I9 h8 `! \8 J+ e. S+ P" `3.開根
; F( G0 S! \8 L0 v! r+ B主要是推導數學運算對指數的影響。
sqrt(aSb)=sqrt(a)*sqrt(2^b)=sqrt(a)*2^(b/2)
+ S4 w8 D  b) Q' y可以發現在開根時指數是除2，尾數直接開根。
4.小數精度的選用
, d" |7 l. F4 _  }: G為了符合精度，要如何選用指數範圍。我們使用定點數其精度取決於二進位小數取多少位。
% I3 G* ?. ]' n3 a  H例如若是使用S-4為其指數，每二數之間最小距離為2^-4=0.0625。此為S-4下的精度。
對應十進位精度可以使用log(精度)/log(2)去計算要使用的指數。
9 q3 m; [- c- M# J; r- d使用精度0.1則S取用為log(0.1)/log(2)=-3.32，則使用S-4為其數值格式，就夠用了。
5.數值範圍
因為定點數是有限的位元組成，也是有限的數字集合及有限的可使用範圍，一但超過範圍的數也無法表示。也就是在運算上有可能會產生縊位問題，而造成非預期結果。
所以只可以使用在變動不大的運算上。所以要考量使用的數值範圍及使用精度，這方面是定點數在使用前要考量好的。
& Z) w) _4 b4 Y9 {定點數應用例：
) e% M+ t/ c4 ~: [已知機器運算只能使用整數的狀況下，要使用小數，則是使用負的S指數，將尾數變成整數。尾數送入機器去運算；指數則是人工管理。
例：r=10.1求圓面積area，假設輸出入需求精度為0.1
% d$ M" H. i4 V; h1 ^% s解答：精度為0.1則，log(0.1)/log(2)=-3.32，故選用的S指數要到S-4可以達成。
- |: C% l. ?& a& {& |/ tpi=3.1416=50S-4(四捨五入)
0 @; u+ e: _4 S0 o' a* F, _r=10.1=162S-4(四捨五入)
area=pi*r*r=50S-4*162S-4*162S-4=1312200S-12=5126S-4(四捨五入)
換算為320.375
實際為320.47386659269480825557425152834
  G: l  ~% P& a% |6 n只有精準到整數，是因為所有數值精確度只有到0.1，誤差是0.05，運算來源有三個，故最大誤差為0.15，所以符合誤差範圍。
由算式可以得知機器只計算50*162*162，解讀結果需右移8位元含四捨五入，輸出結果為S-4格式。
小技巧：
定點數之計算可以使用小算盤來算。將小算盤設定為工程型。使用二進位顯示就可以將十進位轉成二進位。
因二進位只能使用整數，所以要先轉成整數才可以顯示。
! n1 W8 x9 H8 y' m例如：pi的取用。
2 \7 r' n: Z3 e3 N7 m9 vpi取S-4結果為何?先取出pi=3.1415926535897932384626433832795
* J2 g' {3 r) B- L3 n2 }+ O% w若我們使用精度為Qword則有64位元可以用，可以先乘上2^32，取用4相關的指數，可以在顯示時容易找到小數點位置。
結果為13493037704.522018958598982648896
4 I0 ]7 P8 K  H1 M! t# _3 L% b* q9 Y5 z7 w直接按二進位，結果為11 0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000
找到小數點位置後可以發現是110010bS-4
  {# g! d! I: U, {5 \6 T輸入110010按十進位可得50，我們可知pi=50S-4
) P# P! O9 g$ P另外pi常有人用201/64來表示，其實是使用S-6的格式，可以看上面的值找出pi=11001001bS-6=201S-6
另外四捨五入在二進位很容易做，只要看取需要取用的小數精度下一位是否為1，若是則結果加一，不是則捨棄。
但會引發另一問題，剛好尾數LSB為多個1連續，則會進位。
; u1 G5 Z4 p7 c9 m; U& F以pi為例取S-10至S-15四捨五入後表示的數皆相同，都會和S-10完全一樣，精度沒有增加，pi皆為3217S-10，就算是寫成不同的S值，如12868S-12，仍等於3217S-10。

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主題：使用加法做開根及平方計算
4 j1 b- G: _- U6 n- D使用範圍：整數計算開根及平方，計算慢，gate count少
! u' J% h( c9 u1 c- s% A: o參考資料：MATH toolkit for Real-Time Programming by Jack W. Crenshaw CMP Books
* ^- V5 o+ H, [- Q. h原理說明：
0 E6 L) N) e$ X6 n4 h這是我們常用的公式(n+1)^2=n^2+2*n+1
1 N! Q# [7 \) ?) q  J( O改寫為(n+1)^2=n^2+n+(n+1)，其中n^2在上次計算可得到，所以只剩n及(n+1)且只使用加法就可以進行。
& d# W' g2 [9 Z  e, F設計演算法為
# |  _: N4 N1 y& n$ m' Z: @a=Count
b=Last Sum= Sum
* U% N8 z) ?7 @+ z/ ?4 ~c=Sum=Last Sum+Count
+ X8 M$ B8 p- {# C  ]: l. X1 o5 zd=Squart=Sum+Last Sum
; r4 G  s$ f  _- B+ ^/ l" x; ]: M排表為
9 X+ g- Y. Z9 T5 Dａ　ｂ　ｃ　ｄ
. o! c! b9 I& }. e: d2 C) g: M 0　 0   0　 0
1　 0   1　 1
$ |, |+ m% |+ Z1 ^; J2 S 2　 1   3　 4
3　 3   6　 9
8 W" O# j5 I* U' Y( R 4　 6  10　16
3 N, d/ b( X$ h9 v 5　10  15　25
若要取得平方，就將輸入做為計算的次數。計算停下來時，取出d就是答案。
+ v' w( M' v& h. a7 u1 |4 b要做開方，就將輸入和輸出比較，超過時停下來，取出a就是答案。
若要使用到小數，則使用定點數方式可以得到。

t8810012

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