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丘成桐院士是公認的當代最具影響力的數學家之一,其主要成就如下:( v! v, t4 b) W1 R
! a* ~) q' ], w/ ?' I. D*1976年解決關於凱勒-愛因斯坦度量存在性的卡拉比猜想,其結果被應用在超弦理論中,對統一場論有重要影響。第一陳類為零的緊緻凱勒流形稱為卡拉比-丘流形,在數學與弦論中都很重要。作為應用,丘成桐院士還證明了塞梵利猜想,發現Miyaoka-丘不等式。丘成桐院士對c1 > 0情形的凱勒-愛因斯坦度量存在性也作出了重要的貢獻,猜想了它與代數幾何中幾何不變數理論意義下的穩定性的關係。這激發了Donaldson關於數量曲率與穩定性等一系列的重要工作。
! H* {- l& J* E7 q) c5 ]- Q*與鄭紹遠合作證明實與復的Monge-Ampère方程解的存在性,並證明高維閔科夫斯基問題,擬凸域的凱勒-愛因斯坦度量存在性問題。
1 q7 b7 @$ o2 Z% z, }8 A*丘成桐院士開創了將極小曲面方法應用於幾何與拓撲研究的先河。通過對極小曲面在時空中行為的深刻分析,1978年他與R.舍恩合作解決了愛因斯坦廣義相對論中的正質量猜想。
5 x- s: X' a& L*丘成桐院士與Karen Uhlenbeck合作證明了任意緊緻凱勒流形上穩定叢的 Hermitian-Einstein度量的存在性,推廣了Donaldson關於射影代數曲面,以及Narasimhan和Seshadri關於代數曲線的結果。
* b# s9 O" _& W% F, L2 F2 i' x*丘成桐院士與蕭蔭堂合作解決弗蘭克爾猜想,即緊緻正曲率凱勒流形與復射影空間雙全純同構。
D" w7 a0 H, s. d$ L* } j5 H- P*丘成桐院士與 Meeks 合作解決了三維流形極小曲面一個著名的問題,即一條極值約當曲線的極圓盤的 Plateau 問題的 Douglas 解,當邊界曲線是一個凸邊界的子集,那麼它在三維空間中是嵌入的。他們接著證明這些嵌入極小曲面在有限群作用下是等變的。他們的工作與 Thurston 的工作相結合,可以推出著名的史密斯猜想。# f3 ^" l2 C/ s r6 ~' U! _6 D
*丘成桐院士與連文豪、劉克峰合作證明了弦論學家提出的著名的鏡對稱猜想。這些公式給出了用對應的鏡像流形上的 Picard-Fuchs 方程表示的一大類卡拉比-丘流形上有理曲線數目的顯式表達。
6 U; c' ]5 I- V, m: e*丘成桐院士與劉克峰、孫曉峰合作證明曲線模空間上各種幾何度量的等價性,被國際學術界命名為劉孫丘度量。 |
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